PHP 5.6 maakt site onbereikbaar, 5.4 werkt wel

Er zullen functies gebruikt zijn in de code die 5.6 niet meer ondersteunt.

http://php.net/manual/en/migration55.php
http://php.net/manual/en/migration56.php

Wat zeggen je errorlogs?

Haal het hele .htaccess bestand eens weg, of maak deze regel per regel inactief om te zien waar het mis gaat.

Worden beide varianten wel aangestuurd door eenzelfde webserver (Apache) waarin de juiste modules actief zijn (mod_rewrite).

Doe anders eens een vergelijkend warenonderzoek tussen deze twee door een bestandje info.php te maken met hierin enkel:

<?php
phpinfo();
?>

En kijk of er (meer wezenlijke) verschillen zijn (dan enkel een versienummer).

EDIT: of vraag het gewoon aan je host :].

PHP zal zelf het beste kunnen melden wat er mis gaat.

Zet daartoe de errors op het scherm. Error reporting E_ALL in display_errors aan.

Een wit scherm of een simpele "er ging iets mis / internal server error" is namelijk nietszeggend.

Waarschijnlijk een fatal error omdat je een functie gebruikt die in php 5.6 niet meer bestaat,
of je gebruikt iets uit een module die in de php.ini van de nieuwe versie niet aan staat. (of in z'n geheel niet aanwezig is).

Je kunt inderdaad phpinfo() vergelijken, maar dan vind je mogelijk 10 verschillen die er niet toe doen omdat dat voor jouw site niet gebruikt wordt.

Laat php gewoon vertellen wat hij mist (of zoek het wat omslachtiger uit de error logs)

Wat @Ivo zegt is natuurlijk de meest rechtstreekse manier. En WordPress heeft wss ook zelf een soort van "debug mode".