Bij het connecten met mysqli_connect() geef je direct ook de naam op van de database waarmee je wilt gaan werken. De functie mysql_select_db() kun je vervolgens gewoon weghalen.
Op http://php.net kun je alle mysqli functies vinden. Kijk dan naar de uitleg in de 'Procedural style'. Die is het meeste zoals je het gewend bent.
Het grootste verschil is misschien toch wel dat je bij een aantal functies de connectie variabele moet doorgeven die je krijgt van mysqli_connect().
Ik snap niet eens wat die functie zou moeten doen, maar volgens mij doet deze of teveel, of niet genoeg, in die zin dat alle bovenstaande bewerkingen als één ondeelbare actie uitgevoerd zouden moeten worden (oftewel: gebruik een transactie).
Regel 4 t/m regel 16 doet sowieso niets...
Nog voordat je dit omzet naar MySQLi zou je je moeten afvragen wat deze functie aan werk zou moeten verzetten. Leg dit ook ergens vast, al is dit maar met enkele regels annotatie. Misschien kom je dan tot de conclusie dat dit een partij brakke code is die nodig aan een revisie toe is of kun je wellicht delen splitsen in meer logische componenten.
<?php
$s = "
INSERT INTO deelname
(datum, id_optreden, id_fanfarist)
SELECT '" .$rsnew['datum']."','".$rsnew['id_optreden']."', id_fanfarist FROM fanfaristen";
?>
Waarbij ik me afvraag of bij id_optreden ook een andere datum kan staan dan de aangegeven datum.
Zo niet, dan sla je dus info dubbel op en zou het betekenen dat je bij het verplaatsen van een optreden van 6 naar 7 december je dus ook alle records in de tabel Deelname langs moet in plaats van alleen bij het optreden de datum aan te passen.